折线距离的最小值求法再探讨

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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折线距离的最小值求法再探讨

湖北省阳新县高级中学    邹生书

文章发表于《河北理科教学研究》2013（6）

文[1]探讨了折线距离最小值问题的几何解法,并得出了相关问题的一般性结论.文[2]介绍了直线外一点与直线上的动点间的折线距离的最小值问题的函数解法和几何解法,以及圆锥曲线上的动点与直线上的动点间的折线距离的最小值问题的不等式放缩法,并对折线距离的定义和解法作了一些空间拓展.受两文启发笔者综合两家之长和本人见解对这类问题的解法作了较为全面的探讨,现将有关问题整理成文呈给大家供参考.

1  平面上两点折线距离的定义

本文着重探讨如下两种折线距离的最小值问题及解法：1、（单动点问题）直线外一点与直线上的动点间的折线距离的最小值问题;2、（双动点问题）圆锥曲线上的动点与直线上的动点间的折线距离的最小值问题.而对于最值问题的求法主要有如下三种通法：1、不等式法;2、函数法;3、几何法. 本文折线距离的最小值问题的解法将围绕这三种方法展开探讨.

2  平面上两点折线距离的最小值问题与求法

2.1  直线外一点与直线上的动点间的折线距离的最小值问题

综上可知,对于“双动点问题”的不等式放缩法和主元函数法,首先将直线和圆锥曲线的普通方程化为参数方程,从而将双动点的坐标用双参数表示,继而将折线距离表示成双变元式子.其中不等式放缩法先通过放缩将有关直线方程的一次参数的系数化为绝对值相等,然后运用绝对值三角不等式消去该参数,最后将问题转化为另一个参数为主元的函数最值问题求解.主元函数法,先把双变元式子中有关直线方程的参数当作主元,即将问题转化为以这个参数为主元的两个一次绝对值和的函数,根据这类函数的图像是由一条线段和两条射线组成的开口向上的“楔形”,由图像知最小值只能在图像连接点即在这两个一次绝对值的两个零点处取得.这里用整体思想将函数图像整体把握,避免了分类讨论以及“扯不断理还乱”的局面,最后将问题转化为另一个参数为主元的函数最值问题求解.解法3直线平移化切法,实际上是圆锥曲线上的点到直线距离最小问题的直线平移化切法的迁移,该解法用到了“化动为定”的辩证思想,将“双动点问题”转化为“单动点问题”来解决,该解法用到了“单动点问题”的解法及有关结论.“双动点问题”的平移化切法和“单动点问题”的绝对值几何意法,解法形像直观结论呼之欲出,是解决这类问题的最佳方法,特别对于这类问题的不需要解题过程的选择题和填空题来说效果更好.

 参考文献：

[1] 李洪洋.折线距离探幽.[J]中学数学杂志,2011（7）.

[2] 范叶华.折线距离的最小值初探,[J]数学教学,2012（1）.

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